نظریه هندسه اقلیدس

این نظریه (که بعداً به اصل تبدیل شد) از پنج موضوع (postulate) تشکیل شده است که اساس هندسه اقلیدسی را تشکیل می‏دهند.
1. بین دو نقطه می‏توان یک خط راست رسم کرد.
2. خط راست را می‏توان از هر طرف تا بی‏نهایت ادامه داد.
3. با یک مرکز و یک شعاع می‏توان هر دایره‏ای را ترسیم کرد.
4. تمام زوایای قایمه با هم برابرند.
5. اگر دو خط رسم شده خط سوم را طوری قطع کنند که مجموع زوایای داخلی در یک طرف خط کم‏تر از دو زاویه قائمه باشد، در این حالت این دو خط همدیگر را قطع خواهند کرد (یا خطوط موازی هیچگاه همدیگر را قطع نمی‏کنند).

این پنج اصل، موضوع (postulate) [یا] اساس هندسه اقلیدسی را تشکیل می‏دهند. بسیاری از ریاضیدانان اصل موضوع پنجم (یا اصل موضوع موازی) را یک اصل موضوع واقعی نمی‏دانند، بلکه آنرا قضیه‏ای می‏دانند که می‏تواند از چهار اصل موضوع اولی استنتاج شود. جنبه‏هایی از هندسه اقلیدوسی هنوز هم در مدارس آموزش داده می‏شود.
کتاب اصول با 23 تعریف (مانند نقطه، خط، دایره، زاویه قائمه)، پنج اصل موضوع و پنج «اصل متعارفی» شروع می‏شود. با این اصول، اقلیدس 465 قضیه را اثبات کرد. اصل موضوع (یا اصل بدیهی) ادعا می‏کند که چیزی صحیح است و یا پایه یک استدلال است. قضیه یک گزاره اثبات شده است، که حکمی است با قید منطقی دارد. نکات معمولی اقلیدوس درباره هندسه نیستند، بلکه تصدیقات زیبای منطقی هستند:
1. دو چیز که هر دو با چیز سومی برابرند با هم دیگر نیز برابرند.
2. اگر برابر‏ها به برابر اضافه شوند، مجموع به دست آمده هم برابرند.
3. اگر برابر‏ها از برابرها کم شوند، باقیمانده‏ها برابرند.
4. چیزهایی که بر هم منطبق می‏شوند با یکدیگر برابرند.
5. مجموع بزرگتر از اجزای آن است.
در کتاب اصول، اقلیدس همه دستاوردهای پیشی‍ن‍یان در هندسه را گرد آورده و به شکلی نو نظم بخشیده و از خود نیز چیزهایی به آن افزوده است. این اثر به گونه‌ای بود که جای همه اصول قبلی را گرفت و هیچ اثری از پیش از خود بر جای نگذاشت و آنها را به فراموشی سپرد. شاید هیچ اثری به جز کتب مقدس، در تاریخ آنچنان مورد توجه، مطالعه و ویرایش قرار نگرفته باشد.
هیچ نسخه‌ای از اصول اقلیدس که به زمان خود اقلیدس بازگردد وجود ندارد. تنها نسخه‌های موجود به زمان تئون باز می‌گردد. تئون اسکندرانی ۷۰۰ سال پس از اقلیدس در کتاب اصول بازنگری‌هایی انجام داده بود. این کتاب در قرن هشتم به زبان عربی ترجمه شد و بعدها ترجمه‌های لاتینی از روی ترجمه‌های عربی این کتاب انجام شد. اولین انتشار چاپی کتاب در سال ۱۴۸۲ در ونیز انجام شد و این اولین کتاب ریاضی مهمی بود که به چاپ می‌رسید.
هندسه اقلیدسی بر چند اصل ساده و بدیهی استوار است و تمام قضایای هندسی از آنها نتیجه گرفته می‌شود؛ به گونه‌ای که هر قضیه ثابت‌کننده قضیه پس از خود باشد. افزون بر هندسه مسطحه، فصل‌هایی از کتاب هم به جبر، نظریه اعداد و هندسه فضایی اختصاص یافته است.
شیوه ابتکاری اقلیدس در تألیف «اصول» بسیار مورد توجه دیگر ریاضیدان‌ها قرار گرفت و پس از کوتاه مدتی، این کتاب به عنوان مرجع اصلی آموزش هندسه پذیرفته شد. اقلیدس یافته‌های پراکنده هندسه‌دانان پیشین را در چارچوبی چنان منطقی گرد آورده بود که تا قرن‌ها بعد کسی نتوانست چیزی بر آن بیافزاید. با اینحال دامنه تأثیر کتاب اصول از محدوده دانش هندسه فراتر می‌رود؛ روش استنتاجی اقلیدس در شکل‌دهی تفکر منطقی در غرب و پیدایش علوم جدید بسیار مؤثر افتاده است. دانشمندان بزرگی چون آیزاک نیوتن، گالیلئو گالیله و نیکلاس کوپرنیک شیوه او را سرمشق پژوهش‌های خود قرار دادند. نیوتن کتاب بزرگ «پرینسیپا» را با پیروی از الگوی «اصول» اقلیدس به نگارش درآورده است.
حاکمیت مطلق نظریات اقلیدس بر علم هندسه تا اواسط قرن نوزدهم دوام داشت. در این زمان گروهی از ریاضیدانان پس از مطالعات بسیار به این نتیجه رسیدند که می‌توان در اصل پنجم اقلیدس (که می‌گوید دو خط موازی هیچگاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند) گزاره‌ای دیگر را قرار داد (مثلاً دو خط موازی در یک نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند یا در دو نقطه یا در بینهایت نقطه و...)ودر عین حال سازگاری برقرار باشد و بر پایه این یافته ریاضی انواع هندسه‌های نااقلیدسی را پدید آوردند. ز علیرغم نام‌آوری اقلیدس جزئیات زندگی او معلوم نیست. از یادداشت‌های پروکلوس و پاپوس اسکندرانی دانسته‌ایم که اقلیدس از اعضای فعال کتابخانه بزرگ اسکندریه و احتمالأ درس‌خوانده آکادمی افلاطون بوده است ولی از تاریخ دقیق تولد و مرگ او مطلع نیستیم و حتی نمی‌دانیم در کدامین شهر یا قاره جهان زاده شده است. نویسندگان قرون وسطا گاهی او را با اقلیدس مگارایی – فیلسوف سقراطی قرن چهارم پیش از میلاد- اشتباه گرفته‌اند.
اقلیدس عکس قضیه فیثاغورث را مطرح کرده که اگر در یک مثلث مجذور یک ضلع برابر مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر باشد، زاویه بین آن دو ضلع، زاویه قائمه است.

o گروه موضوعی ← علوم پایه
o نظریه پرداز ← اقلیدس
o تاریخ ارائه ← (حدود 325 ـ 265 پیش از میلاد) (قرن پنجم پیش از میلاد ـ اسکندریه، مصر)

انتشار این مطلب در:

اصل اقلیدس

اقلیدس

علوم پایه